На странице вы найдете все формулы тригонометрии в удобном для использования оформлении. Формулы структурированы в блоки по количеству аргументов, степеням, арифметическим операциям над ними.

Все формулы тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

{\tg \alpha = \dfrac {\sin \alpha}{ \cos \alpha} = \dfrac{1}{\ctg \alpha}}
{\ctg \alpha = \dfrac {\cos \alpha}{ \sin \alpha} = \dfrac{1}{\tg \alpha}}
{\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1}
{1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}}
{1+\ctg^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}}
{\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1}

Формулы двойного угла (аргумента)

{\sin(2\alpha)=2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha}
{\sin(2\alpha)=\dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{1+\ctg ^2 \alpha}=\dfrac{2}{\tg \alpha + \ctg \alpha}}
{\cos(2\alpha)=\cos ^2 \alpha- \sin ^2 \alpha = 2 \cdot \cos ^2 \alpha- 1 = 1- 2 \cdot \sin ^2 \alpha}
{\cos(2\alpha)=\dfrac{1 -\tg ^2 \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{\ctg ^2 \alpha- 1}{\ctg ^2 \alpha +1}=\dfrac{\ctg \alpha-\tg \alpha}{\ctg \alpha + \tg \alpha}}
{\tg(2\alpha) = \dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1-\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{\ctg ^2 \alpha- 1}=\dfrac{2}{\ctg \alpha- \tg \alpha}}
{\ctg(2\alpha) = \dfrac{\ctg ^2 \alpha-1}{2 \cdot \ctg \alpha}=\dfrac{\ctg \alpha- \tg \alpha}{2}}

Формулы тройного угла (аргумента)

{\sin(3\alpha)=3 \cdot \sin \alpha- 4 \cdot \sin ^3 \alpha}
{\cos(3\alpha)= 4 \cdot \cos ^3 \alpha- 3 \cdot \cos \alpha}
{\tg(3\alpha)= \dfrac{3 \cdot \tg \alpha- \tg ^3 \alpha}{1-3 \cdot \tg ^2 \alpha}}
{\ctg(3\alpha)= \dfrac{\ctg ^3 \alpha- 3 \cdot \ctg \alpha}{3 \cdot \ctg ^2 \alpha -1}}

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Вторая степень
{\sin ^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}}
{\cos ^2 \alpha = \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2}}
{\tg ^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}}
{\ctg ^2 \alpha = \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{1-\cos(2\alpha)}}
{(\sin \alpha- \cos \alpha)^2=1-\sin(2 \alpha)}
{(\sin \alpha+ \cos \alpha)^2=1+\sin(2 \alpha)}
Третья степень
{\sin ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \sin(\alpha)-\sin(3 \alpha)}{4}}
{\cos ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \cos(\alpha)+\cos(3 \alpha)}{4}}
{\tg ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \sin (\alpha)-\sin(3 \alpha)}{3 \cdot \cos (\alpha)+\cos(3 \alpha)}}
{\ctg ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \cos (\alpha)+\cos(3 \alpha)}{3 \cdot \sin (\alpha)-\sin(3 \alpha)}}
Четвёртая степень
{\sin ^4 \alpha = \dfrac{3-4 \cdot \cos(2 \alpha)+\cos(4 \alpha)}{8}}
{\cos ^4 \alpha = \dfrac{3+4 \cdot \cos(2 \alpha)+\cos(4 \alpha)}{8}}
Пятая степень
{\sin ^5 \alpha = \dfrac{10 \cdot \sin(\alpha)-5 \cdot \sin(3 \alpha)+\sin(5 \alpha)}{16}}
{\cos ^5 \alpha = \dfrac{10 \cdot \cos(\alpha)+5 \cdot \cos(3 \alpha)+\cos(5 \alpha)}{16}}

Формулы половинного угла (аргумента)

{\sin \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}}
{\cos \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}}
{\tg \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)= \dfrac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}}
{\ctg \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)= \dfrac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}}

Формулы понижения степени половинного угла (аргумента)

{\sin ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}
{\cos ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}
{\tg ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}
{\ctg ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}

Формулы сложения аргументов

{\sin(\alpha + \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta}
{\cos(\alpha + \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta- \sin \alpha \cdot \sin \beta}
{\tg(\alpha + \beta)= \dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{1-\tg \alpha \cdot \tg \beta}}
{\ctg(\alpha + \beta)= \dfrac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta-1}{\ctg \alpha + \ctg \beta}}

Формулы вычитания аргументов

{\sin(\alpha- \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta- \cos \alpha \cdot \sin \beta}
{\cos(\alpha- \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+ \sin \alpha \cdot \sin \beta}
{\tg(\alpha- \beta)= \dfrac{\tg \alpha- \tg \beta}{1+\tg \alpha \cdot \tg \beta}}
{\ctg(\alpha- \beta)= \dfrac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta+1}{\ctg \alpha- \ctg \beta}}

Формулы суммы тригонометрических функций

{\sin \alpha+ \sin \beta=2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)}
{\cos \alpha+ \cos \beta=2 \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)}
{\tg \alpha + \tg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}}
{\ctg \alpha + \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}}
{\sin (\alpha)+\cos(\alpha)=\sqrt{2} \cdot \sin \Big( \alpha+ \dfrac{\pi}{4} \Big)}

Формулы разности тригонометрических функций

{\sin \alpha- \sin \beta=2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha+ \beta}{2} \big)}
{\cos \alpha- \cos \beta=-2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)}
{\tg \alpha- \tg \beta = \dfrac{\sin(\alpha- \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}}
{\ctg \alpha- \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}}
{\sin (\alpha)-\cos(\alpha)=\sqrt{2} \cdot \sin \Big( \alpha- \dfrac{\pi}{4} \Big)}

Формулы произведения тригонометрических функций

{\sin \alpha \cdot \sin \beta = \dfrac{\cos (\alpha- \beta)-\cos(\alpha + \beta)}{2}}
{\sin \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{\sin (\alpha- \beta)+\sin(\alpha + \beta)}{2}}
{\cos \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{\cos (\alpha- \beta)+\cos(\alpha + \beta)}{2}}
{\tg \alpha \cdot \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta)+ \cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{\ctg \alpha + \ctg \beta}}
{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta = \dfrac{\cos(\alpha- \beta)+ \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\ctg \alpha + \ctg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta}}
{\tg \alpha \cdot \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha- \beta)+ \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+ \beta)- \sin(\alpha-\beta)}}

Формулы произведения тригонометрических функций в степени

{\sin ^2 (\alpha) \cdot \cos ^2 (\alpha) = \dfrac{1-\cos(4 \alpha)}{8}}
{\sin ^3 (\alpha) \cdot \cos ^3 (\alpha) = \dfrac{3 \cdot \sin(2 \alpha)- \sin(6 \alpha)}{32}}
{\sin ^4 (\alpha) \cdot \cos ^4 (\alpha) = \dfrac{3-4 \cdot \cos(4 \alpha)+ \cos(8 \alpha)}{128}}
{\sin ^5 (\alpha) \cdot \cos ^5 (\alpha) = \dfrac{10 \cdot \sin (2 \alpha)-5 \cdot \sin(6 \alpha)+\sin (10 \alpha)}{512}}

Все формулы тригонометрии на одном листе

На этой картинке собраны все формулы тригонометрии для печати. Листо можно распечатать и использовать при решении задач ЕГЭ или вырезать таблицы и использовать как шпаргалку. Распечатанный лист можно применять как справочный материал при решении задач по тригонометрии в 10 и 11 классе.

Формулы тригонометрии на листе А4

Все формулы тригонометрии на одном листе

Ваша оценка
[Оценок: 8 Средняя: 5]