Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.

Прямая — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:

  • каноническое уравнение,
  • параметрическое уравнение,
  • общее уравнение прямой,
  • уравнение прямой с угловым коэффициентом,
  • уравнение прямой в полярных координатах и другие.

Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.

Уравнения прямой на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости

{\dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = \dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}} \\ \\ { \begin{cases} x=l \cdot t + x_a \\ y=m \cdot t + y_a \end{cases} }

Каноническое уравнение прямой на плоскости

{\dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = \dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

где {x_a, y_a} — координаты точки A, {x_b, y_b} — координаты точки B.

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

{ \begin{cases} x=l \cdot t + x_a \\ y=m \cdot t + y_a \end{cases} }

где {x_a, y_b} — координаты точки, лежащей на прямой, {\{l;m\}} — координаты направляющего вектора прямой, t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.


Уравнения прямой в пространстве

Расстояние между двумя точками в пространстве

{\dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = \dfrac{y-y_a}{y_b-y_a} = \dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}} \\ \\ { \begin{cases} x=l \cdot t + x_a \\ y=m \cdot t + y_a \\ z=n \cdot t + z_a \\ \end{cases} }

Каноническое уравнение прямой в пространстве

{\dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = \dfrac{y-y_a}{y_b-y_a} = \dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}}

где {x_a, y_z, z_a} — координаты точки A, {x_b, y_b, z_b} — координаты точки B.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

{ \begin{cases} x=l \cdot t + x_a \\ y=m \cdot t + y_a \\ z=n \cdot t + z_a \end{cases} }

где {x_a, y_a, z_a} — координаты точки, лежащей на прямой, {\{l;m;n\}} — координаты направляющего вектора прямой, t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки

Найдем уравнения прямой, проходящей через точки A(1,2) и B(3,8).

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид {\dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = \dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

Подставим в формулу координаты точек A и B: {\dfrac{x-1}{3-1} = \dfrac{y-2}{8-2}}

Получаем каноническое уравнение прямой: {\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y-2}{4}}

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Из канонического уравнения получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: {y=3x-1}

Параметрическое уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой имеет вид:

{ \begin{cases} x=l \cdot t + x_a \\ y=m \cdot t + y_a \end{cases} }

где {x_a, y_b} — координаты точки, лежащей на прямой, {\{l;m\}} — координаты направляющего вектора прямой, t — произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении. В качестве координат используем координаты точки {A(x_a, y_b)}.

Найдем координаты направляющего вектора:

{\overline{AB} = \{x_b — x_a; y_b — y_a\} = \{3-1; 8-2\} = \{2; 6\}}

Получаем параметрическое уравнение:

{ \begin{cases} x=2 t + 1 \\ y=6 t + 2 \end{cases} }

Просмотров страницы: 1504