На странице вы найдете все формулы тригонометрии в удобном для использования оформлении. Формулы структурированы в блоки по количеству аргументов, степеням, арифметическим операциям над ними.

Содержание:
  1. Основные тригонометрические тождества
  2. Формулы двойного угла
  3. Формулы тройного угла
  4. Формулы понижения степени
    1. Вторая степень
    2. Третья степень
    3. Четвертая степень
    4. Пятая степень
  5. Формулы половинного угла
  6. Формулы понижения степени половинного угла
  7. Формулы сложения аргументов
  8. Формулы вычитания аргументов
  9. Формулы суммы
  10. Формулы разности
  11. Формулы произведения
  12. Формулы произведения в степени
  13. Все формулы на одном листе

Все формулы тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

\tg \alpha = \dfrac {\sin \alpha}{ \cos \alpha} = \dfrac{1}{\ctg \alpha}
\ctg \alpha = \dfrac {\cos \alpha}{ \sin \alpha} = \dfrac{1}{\tg \alpha}
\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1
1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}
1+\ctg^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}
\tg\alpha \cdot \ctg\alpha=1

Формулы двойного угла (аргумента)

\sin(2\alpha)=2 \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha
\sin(2\alpha)=\dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{1+\ctg ^2 \alpha}=\dfrac{2}{\tg \alpha + \ctg \alpha}
\cos(2\alpha)=\cos ^2 \alpha- \sin ^2 \alpha = 2 \cdot \cos ^2 \alpha- 1 = 1- 2 \cdot \sin ^2 \alpha
\cos(2\alpha)=\dfrac{1 -\tg ^2 \alpha}{1+\tg ^2 \alpha}=\dfrac{\ctg ^2 \alpha- 1}{\ctg ^2 \alpha +1}=\dfrac{\ctg \alpha-\tg \alpha}{\ctg \alpha + \tg \alpha}
\tg(2\alpha) = \dfrac{2 \cdot \tg \alpha}{1-\tg ^2 \alpha}=\dfrac{2 \cdot \ctg \alpha}{\ctg ^2 \alpha- 1}=\dfrac{2}{\ctg \alpha- \tg \alpha}
\ctg(2\alpha) = \dfrac{\ctg ^2 \alpha-1}{2 \cdot \ctg \alpha}=\dfrac{\ctg \alpha- \tg \alpha}{2}

Формулы тройного угла (аргумента)

\sin(3\alpha)=3 \cdot \sin \alpha- 4 \cdot \sin ^3 \alpha
\cos(3\alpha)= 4 \cdot \cos ^3 \alpha- 3 \cdot \cos \alpha
\tg(3\alpha)= \dfrac{3 \cdot \tg \alpha- \tg ^3 \alpha}{1-3 \cdot \tg ^2 \alpha}
\ctg(3\alpha)= \dfrac{\ctg ^3 \alpha- 3 \cdot \ctg \alpha}{3 \cdot \ctg ^2 \alpha -1}

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Вторая степень

\sin ^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}
\cos ^2 \alpha = \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2}
\tg ^2 \alpha = \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{1+\cos(2\alpha)}
\ctg ^2 \alpha = \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{1-\cos(2\alpha)}
(\sin \alpha- \cos \alpha)^2=1-\sin(2 \alpha)
(\sin \alpha+ \cos \alpha)^2=1+\sin(2 \alpha)

Третья степень

\sin ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \sin(\alpha)-\sin(3 \alpha)}{4}
\cos ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \cos(\alpha)+\cos(3 \alpha)}{4}
\tg ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \sin (\alpha)-\sin(3 \alpha)}{3 \cdot \cos (\alpha)+\cos(3 \alpha)}
\ctg ^3 \alpha = \dfrac{3 \cdot \cos (\alpha)+\cos(3 \alpha)}{3 \cdot \sin (\alpha)-\sin(3 \alpha)}

Четвёртая степень

\sin ^4 \alpha = \dfrac{3-4 \cdot \cos(2 \alpha)+\cos(4 \alpha)}{8}
\cos ^4 \alpha = \dfrac{3+4 \cdot \cos(2 \alpha)+\cos(4 \alpha)}{8}

Пятая степень

\sin ^5 \alpha = \dfrac{10 \cdot \sin(\alpha)-5 \cdot \sin(3 \alpha)+\sin(5 \alpha)}{16}
\cos ^5 \alpha = \dfrac{10 \cdot \cos(\alpha)+5 \cdot \cos(3 \alpha)+\cos(5 \alpha)}{16}

Формулы половинного угла (аргумента)

\sin \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}
\cos \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}
\tg \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)= \dfrac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}
\ctg \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)= \dfrac{1+\cos \alpha}{\sin \alpha}= \dfrac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}

Формулы понижения степени половинного угла (аргумента)

\sin ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1-\cos \alpha}{2}
\cos ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1+\cos \alpha}{2}
\tg ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}
\ctg ^2 \Big( \dfrac{\alpha}{2} \Big)=\dfrac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}

Формулы сложения аргументов

\sin(\alpha + \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta
\cos(\alpha + \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta- \sin \alpha \cdot \sin \beta
\tg(\alpha + \beta)= \dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{1-\tg \alpha \cdot \tg \beta}
\ctg(\alpha + \beta)= \dfrac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta-1}{\ctg \alpha + \ctg \beta}

Формулы вычитания аргументов

\sin(\alpha- \beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta- \cos \alpha \cdot \sin \beta
\cos(\alpha- \beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+ \sin \alpha \cdot \sin \beta
\tg(\alpha- \beta)= \dfrac{\tg \alpha- \tg \beta}{1+\tg \alpha \cdot \tg \beta}
\ctg(\alpha- \beta)= \dfrac{\ctg \alpha \cdot \ctg \beta+1}{\ctg \beta - \ctg \alpha}

Формулы суммы тригонометрических функций

\sin \alpha+ \sin \beta=2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)
\cos \alpha+ \cos \beta=2 \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)
\tg \alpha + \tg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}
\ctg \alpha + \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}
\sin (\alpha)+\cos(\alpha)=\sqrt{2} \cdot \sin \Big( \alpha+ \dfrac{\pi}{4} \Big)

Формулы разности тригонометрических функций

\sin \alpha- \sin \beta=2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big) \cdot \cos \big( \dfrac{\alpha+ \beta}{2} \big)
\cos \alpha- \cos \beta=-2 \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha + \beta}{2} \big) \cdot \sin \big( \dfrac{\alpha- \beta}{2} \big)
\tg \alpha- \tg \beta = \dfrac{\sin(\alpha- \beta)}{\cos \alpha \cdot \cos \beta}
\ctg \alpha- \ctg \beta = \dfrac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha \cdot \sin \beta}
\sin (\alpha)-\cos(\alpha)=\sqrt{2} \cdot \sin \Big( \alpha- \dfrac{\pi}{4} \Big)

Формулы произведения тригонометрических функций

\sin \alpha \cdot \sin \beta = \dfrac{\cos (\alpha- \beta)-\cos(\alpha + \beta)}{2}
\sin \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{\sin (\alpha- \beta)+\sin(\alpha + \beta)}{2}
\cos \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{\cos (\alpha- \beta)+\cos(\alpha + \beta)}{2}
\tg \alpha \cdot \tg \beta = \dfrac{\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta)+ \cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\tg \alpha + \tg \beta}{\ctg \alpha + \ctg \beta}
\ctg \alpha \cdot \ctg \beta = \dfrac{\cos(\alpha- \beta)+ \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha- \beta)- \cos(\alpha+\beta)}=\dfrac{\ctg \alpha + \ctg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta}
\tg \alpha \cdot \ctg \beta = \dfrac{\sin(\alpha- \beta)+ \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+ \beta)- \sin(\alpha-\beta)}

Формулы произведения тригонометрических функций в степени

\sin ^2 (\alpha) \cdot \cos ^2 (\alpha) = \dfrac{1-\cos(4 \alpha)}{8}
\sin ^3 (\alpha) \cdot \cos ^3 (\alpha) = \dfrac{3 \cdot \sin(2 \alpha)- \sin(6 \alpha)}{32}
\sin ^4 (\alpha) \cdot \cos ^4 (\alpha) = \dfrac{3-4 \cdot \cos(4 \alpha)+ \cos(8 \alpha)}{128}
\sin ^5 (\alpha) \cdot \cos ^5 (\alpha) = \dfrac{10 \cdot \sin (2 \alpha)-5 \cdot \sin(6 \alpha)+\sin (10 \alpha)}{512}

Все формулы тригонометрии на одном листе

На этой картинке собраны все формулы тригонометрии для печати. Лист можно распечатать и использовать при решении задач ЕГЭ или вырезать таблицы и использовать как шпаргалку. Распечатанный лист можно применять как справочный материал при решении задач по тригонометрии в 10 и 11 классе.

Формулы тригонометрии на листе А4