Использование двойного факториала может быть полезным при решении математических задач, которые требуют знания четности чисел. Он может также использоваться в комбинаторике и теории вероятностей для подсчета числа перестановок элементов множества.

Содержание:
  1. калькулятор двойного факториала
  2. что такое двойной факториал
  3. формула двойного факториала
  4. примеры нахождения двойного факториала
  5. таблица двойных факториалов
  6. примеры задач с использованием двойных факториалов

Что такое двойной факториал

Двойной факториал – это математическая операция, которая применяется к натуральным числам и обозначается как n!! (читается как "n двойной факториал"). Она представляет собой произведение всех чисел, меньших или равных n, с одинаковой четностью. Если n четное, то двойной факториал будет равен произведению всех четных чисел от 2 до n, а если n нечетное, то он будет равен произведению всех нечетных чисел от 1 до n.

Формула двойного факториала

{n!! = \begin{cases} n \cdot (n-1)...5\cdot3\cdot1 & \text{если } n>0 \; и \; нечётное \\ n \cdot (n-2)...6\cdot4\cdot2 & \text{если } n>0 \; и \; чётное \\ 1 & \text{если } n=-1, 0 \\ \end{cases}}

n - число, для которого рассчитывается двойной факториал

Примеры вычисления двойного факториала

Пример 1

Найдите двойной факториал 7.

Решение

Так как число 7 нечётное, то для нахождения двойного факториала 7 по формуле нам необходимо перемножить все нечетные числа от 7 до 1:

7!! = 7 x 5 x 3 x 1 = 105

Ответ: 7!! = 105

Полученный ответ легко проверить на калькуляторе .

Пример 2

Найдите двойной факториал 6.

Решение

Число 6 чётное, значит для нахождения двойного факториала 6 нам необходимо перемножить все четные числа от 6 до 2:

6!! = 6 x 4 x 2 = 48

Ответ: 6!! = 48

Проверим ответ с помощьюкалькулятора .

Таблица двойных факториалов

0!!1
1!!1
2!!2
3!!3
4!!8
5!!15
6!!48
7!!105
8!!384
9!!945
10!!3840
11!!10395
12!!46080
13!!135135
14!!645120
15!!2027025
16!!10321920
17!!34459425
18!!185794560
19!!654729075
20!!3715891200
21!!13749310575
22!!81749606400
23!!316234143225
24!!1961990553600
25!!7905853580625
26!!51011754393600
27!!213458046676875
28!!1428329123020800
29!!6190283353629375
30!!42849873690624000
31!!191898783962510625
32!!1371195958099968000
33!!6332659870762850625
34!!46620662575398912000
35!!221643095476699771875
36!!1678343852714360832000
37!!8200794532637891559375
38!!63777066403145711616000
39!!319830986772877770815625
40!!2551082656125828464640000
41!!13113070457687988603440625
42!!107145471557284795514880000
43!!563862029680583509947946875
44!!4714400748520531002654720000
45!!25373791335626257947657609375
46!!216862434431944426122117120000
47!!1192568192774434123539907640625
48!!10409396852733332453861621760000
49!!58435841445947272053455474390625
50!!520469842636666622693081088000000

Надеемся, эта таблица будет полезна вам при решении задач, связанных с двойным факториалом.

Примеры задач на двойной факториал

Задача 1

Сколькими способами можно выбрать команду из 6 человек, если группа состоит из 10 человек, а в команде должно быть ровно 3 мужчины и 3 женщины?

Решение

Для решения этой задачи нужно вычислить количество способов выбрать 3 мужчин и 3 женщин из 5 мужчин и 5 женщин. Количество способов выбрать 3 мужчин из 5 равно 5!!, а количество способов выбрать 3 женщин из 5 равно 5!!. Таким образом, общее количество способов выбрать команду из 6 человек равно произведению двойных факториалов: 5!! × 5!! = 1200.

Ответ: 1200.

Задача 2

На факультете информатики 10 студентов, и они должны разбиться на 5 пар для выполнения лабораторных работ. Сколько существует различных комбинаций пар?

Решение

Для того, чтобы получить количество различных комбинаций пар, нужно вычислить двойной факториал от числа студентов (10!!), а затем поделить его на произведение двойных факториалов от числа студентов в каждой паре (2!!). Таким образом, мы получим:

10!! / (2!!)^5 = (10 × 8 × 6 × 4 × 2) / (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 945

То есть, существует 945 различных комбинаций пар из 10 студентов.

Ответ: 945.

Задача 3

Сколько различных способов можно использовать, чтобы расставить 6 книг на 3 полках так, чтобы на каждой полке лежало хотя бы по одной книге?

Решение

Первую полку можно заполнить любой из 6 книг, вторую - любой из 5 оставшихся книг, а третью - любой из 4 оставшихся книг. Таким образом, количество способов расставить книги на полках равно произведению двойных факториалов: 6!! × 5!! × 4!! = 46080.

Ответ: 46080.

Задача 4

Сколько существует перестановок букв в слове "БАБУШКА"?

Решение

В слове "БАБУШКА" 2 буквы "Б", 2 буквы "У", 1 буква "А", 1 буква "Ш" и 1 буква "К". Количество перестановок букв в этом слове равно произведению двойных факториалов для каждой буквы: 2!! × 2!! × 1!! × 1!! × 1!! × 1!! = 8.

Ответ: 8.

Задача 5

Сколько существует способов разложить число 10 в сумму нечетных положительных целых чисел?

Решение

Число 10 можно разложить в сумму нечетных чисел следующим образом: 1 + 3 + 5 + 1. Количество способов разложить число 10 в сумму нечетных положительных целых чисел равно произведению двойных факториалов: 5!! × 3!! × 1!! = 15.

Ответ: 15.

Двойной факториал можно использовать для вычисления произведения чисел с определенной четностью. Например, произведение всех нечетных чисел от 1 до 15 равно 15!!, а произведение всех четных чисел от 2 до 14 равно 14!! (см. формулу факториала).

Таким образом, двойной факториал может быть использован в различных задачах, связанных с комбинаторикой, теорией вероятностей и математическим анализом. Он позволяет более эффективно решать задачи, связанные с четностью чисел и перестановками элементов множества.