Угловой коэффициент прямой
{k=\dfrac{y_b - y_a}{x_b - x_a} = \tg(\alpha)}
Точка A
xa
ya
Точка B
xb
yb

Калькулятор углового коэффициента прямой может не только рассчитать коэффициент, но и найдет точки пересечения прямой с осями абсцисс и ординат (x и y), а также покажет решение и построит график прямой.

Определение углового коэффициента прямой

Угловой коэффициент прямой - это число, которое определяет наклон прямой относительно положительного направления оси OX. Численно он равен тангенсу угла (отсчитываемого против часовой стрелки) между положительным направлением оси OX и прямой.

Угловой коэффициент прямой обозначается буковой k.

Угловой коэффициент показывает, как быстро прямая меняет свое положение по оси OX при изменении координаты y и является ключевым понятием в геометрии и физике, используемым для описания многих физических явлений, например, движения тела в пространстве или распространение света.

В геометрии, угловой коэффициент прямой используется для определения угла наклона прямой относительно оси абсцисс и для вычисления ее точек пересечения с осями координат. Также угловой коэффициент прямой используется для записи уравнения прямой в общем виде. Знание углового коэффициента прямой является необходимым при решении многих задач геометрии, таких как построение перпендикуляров и параллельных линий, определение углов между прямыми и плоскостями, а также решение задач на поиск расстояний между прямыми и плоскостями.

Формула углового коэффициента прямой

Формула вычисления углового коэффициента прямой определяется как отношение изменения координаты y к изменению координаты x между любыми двумя точками на прямой. Математически это можно записать следующим образом:

Формула вычисления углового коэффициента прямой
{k=\dfrac{y_b - y_a}{x_b - x_a} = \tg(\alpha)}

k - угловой коэффициент прямой,

xa, ya - координаты точки A,

xb, yb - координаты точки B

α - угол между осью OX и прямой (против часовой стрелки).

Если прямая задана уравнением в общем виде y = kx + b, то угловой коэффициент прямой равен коэффициенту при x, то есть k.

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Рассмотрим возможные значения углового коэффициента и какой геометрический смысл он несет.

Угловой коэффициент прямой больше нуля

Если угловой коэффициент прямой больше нуля (k>0), то угол между осью OX и прямой является острым, а график прямой возрастающий. Обратное утверждение также справедливо - если график прямой возрастает, то ее угловой коэффициент больше нуля.

Угловой коэффициент прямой больше 0

Угловой коэффициент прямой меньше нуля

Если угловой коэффициент прямой меньше нуля (k<0), то угол между осью OX и прямой является тупым, а график прямой убывающий. И наоборот - если график прямой убывает, то ее угловой коэффициент меньше нуля.

Угловой коэффициент прямой меньше 0

Угловой коэффициент равен нулю

Если угловой коэффициент прямой равен нулю (k=0), то это значит, что прямая параллельна оси x.

Угловой коэффициент прямой равен 0

Угловой коэффициент не определен (равен бесконечности)

Если угловой коэффициент прямой не определен (или можно сказать обращается в бесконечность) (k=∞), то это значит, что прямая параллельна оси y.

Угловой коэффициент прямой равен бесконечности

Угловой коэффициент параллельных прямых

Если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны и наоборот - если у прямых равные угловые коэффициенты, то они параллельны друг другу.

Угловой коэффициент перпендикулярных прямых

Если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и имеют противоположный знак.

Для примера рассмотрим две прямые, заданные угловыми коэффициентами:

y = k_{m} x + b_m

y = k_{n} x + b_n

Прямые будет перпендикулярны, если k_{m} = - \dfrac{1}{k_{n}}

Как рассчитать угловой коэффициент прямой по заданным координатам точек

Чтобы закрепить материал, рассмотрим решение задачи.

Задача 1

Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A(5, -2) и B(-3, 1).

Решение

Воспользуемся формулой углового коэффициента прямой. Для начала найдем разницу между соответствующими координатами двух точек:

{\Delta x = x_b - x_a = -3 -5 -= -8}

{\Delta y = y_b - y_a = 1 - -(2) = 3}

Осталось применить формулу и поделить \Delta y на \Delta x:

k = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{3}{-8} = - \dfrac{3}{8} \approx -0.375

Это и есть угловой коэффициент прямой AB.

А если вы внимательно читали статью, то, учитывая, что полученный угловой коэффициент отрицательный, можно сказать, что прямая AB убывающая.

Ответ: k = - \dfrac{3}{8} \approx -0.375

Проверить ответ нам поможет калькулятор .