Арифметическая прогрессия - одно из фундаментальных понятий алгебры и математического анализа. Она имеет много применений в различных областях, включая финансы, физику, экономику и другие науки.
Арифметическая прогрессия - последовательность из чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на определенное значение. Это значение называют разностью или шагом арифметической прогрессии и обозначают буквой d. Разность может быть и отрицательным числом и даже равняться нулю.
Например, 2,7,12,17,22... - это арифметическая прогрессия, так как второй ее член (7) отличается от первого (2) на 5, третий член (12) отличается от второго (7) тоже на 5, четвертый член (17) отличается от третьего (12) снова на 5 и т. д. Получается у этой числовой последовательности каждый следующий элемент больше предыдущего на 5 и эта последовательность является арифметической прогрессией.
А вот последовательность 3, 5, 7, 10, 15... не является арифметической прогрессией. Подумайте почему.
Таким образом, чтобы найти следующий член прогрессии, необходимо добавить к нему разность (шаг).
Для того, чтобы найти член арифметической прогрессии, необходимо знать первый член и разность. Формула для этого выглядит так:
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Если для последовательности чисел выполняется следующее равенство, то такую последовательность можно назвать арифметической прогрессией:
Сумма членов арифметической прогрессии
Для того, чтобы найти сумму первых n членов арифметической прогрессии, необходимо воспользоваться одной из формул:
В этих формулах a1 - первый член арифметической прогрессии, n - количество элементов для суммирования, an - член с номером n, d - разность прогрессии. На сайте вы можете найти сумму членов арифметической прогрессии онлайн.
Примеры арифметической прогрессии
2, 5, 8, 11, 14, 17...
Это арифметическая прогрессия, у которой первый член a1 равен 2, а разность d равна 3.
75, 70, 65, 60, 55...
В данном примере мы имеем дело с отрицательной разностью прогрессии. a1=75, d=-5.
Формулы арифметической прогрессии
| Определение арифметической прогрессии | {a_n=a_{n-1}+d} |
|---|---|
| Разность арифметической прогрессии | {d = a_{n+1}-a_n} |
| Формула n-го члена арифметической прогрессии | a_n=a_1+(n-1)d |
| Сумма первых n членов арифметической прогрессии | {S_n=\dfrac {a_1+a_n}{2} \cdot n} {S_n=\dfrac {2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n} |
| Характеристическое свойство арифметической прогрессии | a_n=\dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, n\ge 2 |
Арифметические прогрессии широко применяются в финансовых расчетах, например, при расчете аннуитетов и амортизации. Они также используются в физике при описании равномерно ускоренного движения тела.
Понимание арифметических прогрессий может быть полезно не только в научных и технических областях, но и в повседневной жизни. Например, при планировании бюджета или распределении времени между задачами можно использовать концепцию арифметической прогрессии для более эффективного использования ресурсов.
Арифметическая прогрессия - это важное математическое понятие, которое широко используется в различных областях. Понимание ее смысла может быть полезно для решения различных задач и повышения эффективности в различных сферах деятельности.