Итак, мы знаем, что такое геометрическая прогрессия. Это последовательность чисел, где каждое следующее получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называют знаменателем прогрессии.
Например: 2, 4, 8, 16, 32...
Здесь первый член b1 = 2, а знаменатель q = 2.
Мы уже умеем находить сумму первых n членов такой прогрессии. А сегодня разберемся, как найти их произведение. То есть, если мы перемножим первые несколько членов, можно ли найти быстрый способ посчитать это значение без долгого умножения в столбик? Конечно, можно.
Общая формула
Произведение первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
P_n= (b_1 \cdot b_n)^ \frac {n}{2},
b1 - первый член прогрессии,
bn - n член прогрессии,
n - номер члена
Звучит немного абстрактно. Давай сразу на примере.
Пример 1. Простой и понятный
Вернемся к нашей прогрессии: 2, 4, 8, 16, 32.
Пусть нам нужно найти произведение первых 5 членов. То есть P5.
-
Найдем b1 и bn.
b1 = 2
n = 5, значит bn = b5 = 32 (последний член в нашем ряду).
-
Подставляем в формулу:
P5 = (b1 * b5)^(5/2) = (2 * 32)^(5/2)
-
Считаем:
Сначала что в скобках: 2 * 32 = 64.
Теперь возводим 64 в степень 5/2. Степень 5/2 — это то же самое, что сначала взять квадратный корень (1/2), а потом возвести в пятую степень (5). Или наоборот. Обычно проще сначала возвести в степень, а потом извлечь корень.
Итак, 64^(5/2) = (64^(1/2))^5 = (√64)^5 = 8^5.
8^5 = 8 * 8 * 8 * 8 * 8 = 32768.
Проверим старым добрым способом, перемножив все члены:
2 * 4 = 8
8 * 8 = 64
64 * 16 = 1024
1024 * 32 = 32768.
Получилось точно так же! Формула работает.
Почему это работает? Секрет симметрии.
Давай посмотрим на нашу прогрессию еще раз: 2, 4, 8, 16, 32.
Запишем члены в другом порядке: сначала первый, потом последний, потом второй, потом предпоследний и так далее.
Первый член: 2
Последний (пятый): 32
Второй член: 4
Предпоследний (четвертый): 16
Третий член: 8
А теперь перемножим пары: 2 * 32 = 64, 4 * 16 = 64, 8 * ... а у восьмерки пары нет, она центральная.
Видишь? Произведение членов, равноотстоящих от концов, всегда одно и то же! Это ключевое свойство.
В нашем случае получилось две пары, дающие в произведении 64, и один центральный элемент 8.
Общее произведение: (2*32) * (4*16) * 8 = 64 * 64 * 8.
А это можно записать как 64^2 * 8. Но 8 — это ведь √64.
Так что 64^2 * √64 = 64^(2 + 1/2) = 64^(5/2).
Вот и вся магия. Формула просто использует эту симметрию.
Пример 2. С нечетным количеством членов
Возьмем прогрессию: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192. Найдем P7 (произведение всех семи членов).
b1 = 3
n = 7
bn = b7 = 192
P7 = (b1 * b7)^(7/2) = (3 * 192)^(7/2)
Считаем:
3 * 192 = 576
Теперь 576^(7/2). Степень 7/2 — это как (576^7)^(1/2), то есть сначала в седьмую степень, а потом корень квадратный. Или как (√576)^7. Второй способ проще.
√576 = 24 (потому что 25*25=625, 24*24=576).
Теперь 24^7. Это уже большая степень. Можно посчитать шагами или использовать калькулятор.
24^2 = 576
24^4 = (576)^2 = 331776
24^7 = 24^4 * 24^2 * 24^1 = 331776 * 576 * 24.
Посчитаем: 331776 * 576 = 191102976, а затем 191102976 * 24 = 4586471424.
Итак, P7 = 4 586 471 424.
Пример 3. С четным количеством членов
Теперь возьмем первые 4 члена из того же ряда: 3, 6, 12, 24. Найдем P4.
b1 = 3
n = 4
bn = b4 = 24
P4 = (b1 * b4)^(4/2) = (3 * 24)^(2)
Считаем:
3 * 24 = 72
72^2 = 5184
Проверим: 3 * 6 = 18, 18 * 12 = 216, 216 * 24 = 5184. Снова сошлось.
Обрати внимание, когда n четное, степень n/2 получается целой (4/2=2), и корень извлекать не нужно. Это упрощает расчет.
Важный момент: альтернативная форма записи
Иногда эту же формулу записывают по-другому, через первый член и знаменатель. Получается так:
Pn = (b1^n) * (q^(n*(n-1)/2))
Эта формула выглядит сложнее. Она не такая наглядная, как основная. Но она может быть полезна, если тебе сразу даны b1 и q, а n-ный член неизвестен.
Например, для нашего первого примера (2, 4, 8... P5):
b1=2, q=2, n=5.
P5 = (2^5) * (2^((5*4)/2)) = 32 * (2^(20/2)) = 32 * (2^10) = 32 * 1024 = 32768.
Результат тот же.
Но лично я советую запомнить первую формулу: Pn = (b1 * bn)^(n/2). Она короче, и в ней видна та самая симметрия.
Резюме
- Чтобы найти произведение первых n членов геометрической прогрессии, используй формулу Pn = (b1 * bn)^(n/2).
- Сначала найди первый и n-ный члены.
- Перемножь их.
- Результат возведи в степень n/2. Если n четное, степень будет целой. Если нечетное, придется извлекать корень.
- Формула работает благодаря симметрии: произведение членов, равноотстоящих от концов, всегда одинаково.
Потренируйся на разных прогрессиях. Сначала на простых, где члены целые. Потом можешь взять прогрессию с дробным знаменателем, например, 81, 27, 9, 3, 1. Принцип будет точно таким же.
Главное — понять идею. А тогда любая формула становится простой и логичной.