Задача нахождения n-го члена геометрической прогрессии встречается довольно часто. Для вас мы создали онлайн сервис, позволяющий сделать это мгновенно в режиме онлайн. Просто введите данные и получите результат.
Вы смотрите на задачу и видите буквы. b, q, n. Голова идет кругом. Я понимаю. Давайте разберемся по порядку.
Геометрическая прогрессия — это просто цепочка чисел, где каждое следующее получается умножением предыдущего на одно и то же число.
Представьте лестницу. Вы стоите на первой ступеньке. Чтобы подняться на следующую, вы делаете шаг определенной высоты. Эта высота шага никогда не меняется. Так и тут.
Это постоянное число — шаг — называется знаменатель прогрессии. Его всегда обозначают буквой q.
Приведу пример из жизни.
Допустим, у вас есть 1000 рублей. Вы кладете их в банк под 10% в год. Что будет?
- В начале: 1000 рублей.
- Через год: 1000 + 10% = 1000 * 1,10 = 1100 рублей.
- Через два года: 1100 * 1,10 = 1210 рублей.
- Через три года: 1210 * 1,10 = 1331 рубль.
Видите цепочку? 1000, 1100, 1210, 1331... Каждое следующее число больше предыдущего в 1,10 раза. Это и есть геометрическая прогрессия. Здесь первый член (b₁) = 1000, а знаменатель (q) = 1,10.
Теперь главный вопрос: как найти член прогрессии, который стоит на каком-то далеком месте? Не хотите же вы считать вручную доход за 10 лет.
Для этого есть формула. Она выглядит страшно, но мы ее разберем.
Формула n члена геометрической прогрессии
b1 - первый член прогрессии,
bn - член прогрессии под номером n,
q - знаменатель прогрессии
Давайте расшифруем эту аббревиатуру.
- bₙ — это тот член прогрессии, который мы ищем. n — это его номер. Если ищем пятый член, то n=5, и это b₅.
- b₁ — это первый член прогрессии. Наша отправная точка.
- q — наш знаменатель, тот самый шаг.
- n — номер члена, который мы ищем.
Самая частая ошибка — в степени. Запомните крепко: степень — это (n - 1), а не просто n.
Почему? Подумайте логически.
- Чтобы получить b₁, мы не умножаем ни на что. Степень равна 0.
- Чтобы получить b₂, мы умножаем b₁ на q один раз. Степень равна 1.
- Чтобы получить b₃, мы умножаем b₁ на q два раза.
Видите закономерность? Количество умножений всегда на единицу меньше номера члена. Для третьего члена (n=3) нам нужно (3-1)=2 умножения. Вот откуда эта степень.
Теперь давайте решим две задачи. Одну простую, другую — с подвохом.
Задача 1. Простая.
Решение
Сначала определим b₁ и q.
b₁ — это первое число, значит, b₁ = 2.
q — это то, на что мы умножаем. 2 * 3 = 6. 6 * 3 = 18. Значит, q = 3.
Теперь подставляем в формулу. Нам нужен b₇, так что n = 7.
b₇ = b₁ * q⁷⁻¹ = 2 * 3⁶
Считаем по порядку: 3⁶ = 3*3*3*3*3*3 = 729.
Тогда b₇ = 2 * 729 = 1458.
Все. Седьмой член этой прогрессии равен 1458.
Ответ: 1458 (проверка )
Задача 2. Посложнее. (Здесь многие ошибаются)
Решение
Смотрите, тут нам дали не первый член, а пятый. Наша формула требует b₁. Что делать?
Можно найти b₁ через ту же формулу. Мы знаем, что b₅ = b₁ * q⁽⁵⁻¹⁾.
Подставляем известное: 8 = b₁ * (1/2)⁴.
Считаем: (1/2)⁴ = 1/16.
Получается: 8 = b₁ * (1/16).
Отсюда b₁ = 8 / (1/16) = 8 * 16 = 128.
Теперь ищем b₄: b₄ = b₁ * q³ = 128 * (1/2)³ = 128 * (1/8) = 16.
Ответ: b₄ = 16.
Ответ: 16
Но есть способ быстрее. Подумаем. Каждый следующий член получается умножением на q. У нас есть b₅. Чтобы получить b₄, который стоит перед ним, нужно не умножить, а разделить на q.
b₄ = b₅ / q = 8 / (1/2) = 8 * 2 = 16.
Получили тот же ответ, но без лишних шагов. Это полезный лайфхак. Если вы знаете какой-то член и вам нужен предыдущий — делите. Если нужен следующий — умножайте.
Давайте резюмируем.
Краткий план действий:
- Прочитайте задачу. Определите, что дано: первый член (b₁), знаменатель (q), номер искомого члена (n). Иногда дают не b₁, а другой член, как в задаче 2.
- Запишите формулу. bₙ = b₁ * qⁿ⁻¹. Это ваш главный инструмент.
- Если не хватает b₁, найдите его, подставив в формулу известные значения (как мы сделали с b₅).
- Подставьте все в формулу. Внимание на степень! n-1.
- Аккуратно посчитайте. Сначала степень, потом умножение.
Самое главное — понять суть. Геометрическая прогрессия — это про последовательное умножение. Формула — это просто способ посчитать сразу через много шагов, не выписывая всю цепочку.
Потренируйтесь на нескольких примерах. Сначала будет медленно. Потом дойдете до автоматизма. И когда-нибудь, рассчитывая свой банковский вклад, вы с улыбкой вспомните, что это та самая геометрическая прогрессия.
На нашем сайте вы так же можете рассчитать сумму и произведение членов геометрической прогрессии.