Длина дуги окружности - важный параметр, который используется в геометрии и математике для решения различных задач. На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности - через радиус и угол между радиусами и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькулятора, которые используют эти формулы.
Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.
Если обобщить, то дуга окружности - это часть окружности, ограниченная двумя ее точками. Ниже приведены несколько примеров дуг окружностей:
-
Полная окружность - это дуга, которая охватывает всю окружность. Угол, определяющий полную окружность, равен 360° или 2π радиан. Длина дуги полной окружности равна общей длине окружности, которая может быть вычислена по формуле L = 2πr, где r - радиус окружности.
-
Полуокружность - это дуга, которая охватывает половину окружности. Угол, определяющий полуокружность, равен 180° или π радиан. Длина дуги полуокружности равна половине общей длины окружности и может быть вычислена по формуле L = πr.
-
Сектор окружности - это область, ограниченная дугой окружности и двумя ее радиусами.
Это только несколько примеров дуг окружности. Дуги могут быть разных размеров и форм, в зависимости от угла, определяющего их, и расположения на окружности.
Формула длины дуги окружности через радиус и угол
R - радиус окружности
α - центральный угол (угол между радиусами) в градусах
{L = R \alpha}R - радиус окружности
α - центральный угол (угол между радиусами) в радианах
Формула длины дуги окружности по формуле Гюйгенса
m - длина хорды m
M - длина хорды M
Обратите внимание, что в данной формуле используется не привычный знак равно «=», а знак "равно или почти равно", который записывается так - «\approxeq». Это связано с тем, что формула Гюйгенса дает погрешность при вычислении. Хоть величина погрешности невелика, знать об этом надо.
Относительная погрешность формулы Гюйгенса составляет порядка 0,5% когда угол дуги равен 60°. Если же угловая мера дуги уменьшается, то уменьшается и погрешность. Например, для дуги в 45° относительная погрешность будет равна примерно 0,02%.
Примеры задач на нахождение длины дуги
Задача 1
Решение
Для решения этой задачи нам подойдет первая формула. Подставим в нее значение радиуса и угла и произведем вычисления:
L = \dfrac{\pi R \alpha}{180\degree} = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 30\degree}{180\degree} = \dfrac{\pi \cdot 180\degree}{180\degree} = \pi \: см \approx 3.14 \: см.Ответ: {\pi \: см \approx 3.14 \: см.}
Введем известные значения в калькулятор для проверки полученного ответа.
Задача 2
Решение
Задача аналогична предыдущей. Также воспользуемся первой формулой.
L = \dfrac{\pi R \alpha}{180\degree} = \dfrac{\pi \cdot 3 \cdot 150\degree}{180\degree} = \dfrac{\pi \cdot 3 \cdot 5}{6} = \dfrac{\pi \cdot 5}{2} = \dfrac{5}{2} \pi \: см = 2.5 \pi \: см \approx 7.85398 \: см.Ответ: {2.5 \pi \: см \approx 7.85398 \: см.}
В проверке ответа нам снова поможет калькулятор .
Длина дуги окружности имеет множество применений в математике и ее приложениях. Например, она используется для вычисления длины дуги графика функции, заданной в полярных координатах. Также длина дуги окружности используется при вычислении пути, пройденного телом при движении по окружности, а также для вычисления объема тела, полученного путем вращения дуги окружности вокруг ее диаметра.
